二、 集合上的特殊关系

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一、 特殊关系二、 集合上的特殊关系三、 整除关系四、 大小关系

一、 特殊关系

特殊二元关系 :

空关系恒等关系全域关系整除关系小于等于关系包含关系真包含关系

二、 集合上的特殊关系

集合

A

A

A 是任意集合 , 集合

A

A

A 中可以定义以下关系 :

空关系 :

∅

\varnothing

∅ , 空关系中没有关系 ;

恒等关系 :

I

A

=

{

<

x

,

x

>

∣

x

∈

A

}

I_A = \{ | x \in A \}

IA​={∣x∈A}

全域关系 :

E

A

=

A

×

A

=

{

<

x

,

y

>

∣

x

∈

A

∧

y

∈

A

}

E_A = A \times A = \{ | x \in A \land y \in A \}

EA​=A×A={∣x∈A∧y∈A} , 任何两个元素之间都有关系 ;

上述三种关系是最基本的关系 , 任意集合都能定义上述三种关系 ;

全域关系 是 最大的关系 , 其中包含所有可能的有序对 ;

空关系 是 最小的关系 , 其中没有任何有序对 ;

恒等关系 有特殊意义 , 关系运算中不起到任何作用 ;

三、 整除关系

A

⊆

Z

A \subseteq Z

A⊆Z ,

A

A

A 集合是整数集的子集 , 定义

A

A

A 集合上的整除关系 :

D

A

=

{

<

x

,

y

>

∣

x

∈

A

∧

y

∈

A

∧

x

∣

y

}

D_A = \{ | x \in A \land y \in A \land x|y \}

DA​={∣x∈A∧y∈A∧x∣y}

其中的

x

∣

y

x|y

x∣y 中的

∣

|

∣ 符号是整除的意思 ,

x

x

x 整除

y

y

y ;

x

x

x 整除

y

y

y ,

x

x

x 是除数 (分母) ,

y

y

y 是被除数 (分子) ;

y

x

\dfrac{y}{x}

xy​

y

y

y 能被

x

x

x 整除 ,

x

x

x 是除数 (分母) ,

y

y

y 是被除数 (分子) ;

y

x

\dfrac{y}{x}

xy​

整除关系示例 :

A

=

{

1

,

2

,

3

,

4

}

A = \{ 1, 2, 3, 4 \}

A={1,2,3,4}

D

A

=

{

<

1

,

1

>

,

<

1

,

2

>

,

<

1

,

3

>

,

<

1

,

4

>

,

<

2

,

2

>

,

<

2

,

4

>

,

<

3

,

3

>

,

<

4

,

4

>

}

D_A = \{ <1, 1> , <1, 2> , <1, 3> , <1, 4> , <2, 2> , <2, 4> , <3, 3> , <4,4> \}

DA​={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}

四、 大小关系

A

⊆

R

A \subseteq R

A⊆R , 集合

A

A

A 是实数集子集 , 在集合

A

A

A 上有以下二元关系 :

大于关系 ( Great Than ) :

G

A

=

{

<

x

,

y

>

∣

x

∈

A

∧

y

∈

A

∧

x

>

y

}

G_A = \{ | x \in A \land y \in A \land x > y \}

GA​={∣x∈A∧y∈A∧x>y}

大于等于关系 ( Great Than Or Equal To ) :

G

E

A

=

{

<

x

,

y

>

∣

x

∈

A

∧

y

∈

A

∧

x

≥

y

}

GE_A = \{ | x \in A \land y \in A \land x \geq y \}

GEA​={∣x∈A∧y∈A∧x≥y}

小于关系 ( Less Than ) :

L

A

=

{

<

x

,

y

>

∣

x

∈

A

∧

y

∈

A

∧

x

<

y

}

L_A = \{ | x \in A \land y \in A \land x < y \}

LA​={∣x∈A∧y∈A∧x

小于等于关系 ( Less Than Or Equal To ) :

L

E

A

=

{

<

x

,

y

>

∣

x

∈

A

∧

y

∈

A

∧

x

≤

y

}

LE_A = \{ | x \in A \land y \in A \land x \leq y \}

LEA​={∣x∈A∧y∈A∧x≤y}

如果

A

A

A 集合是有限集 , 则

A

A

A 上的关系是有限个 ;

如果

A

A

A 集合是无限集 , 则

A

A

A 上的关系是无限个 ;